√ Deret Aritmatika : Barisan, Bentuk, Contoh Soal dan Jawabannya

Posted on

Deret Aritmatika : Barisan, Bentuk, Contoh Soal dan Jawabannya – Pada kesempatan ini akan membahas tentang Rumus Deret Aritmatika. Yang mana dalam pembahasan kali ini menjelaskan berbagai macam persoalan mengenai Rumus deret aritmatika mulai dari pengertian sampai contoh soalnya. Untuk lebih jelasnya yuk simak ulasan StudiNews berikut ini.

Deret Aritmatika : Barisan, Bentuk, Contoh Soal dan Jawabannya

Barisan bilangan merupakan himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan atau pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Masing-masing dari bilangan itu disebut suku-suku barisan

Pengertian Aritmatika

Aritmatika atau aritmetika diambil dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung. Aritmatika adalah cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan bilangan dengan pola tertentu baik berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama tau tetap.

Rumusan Barisan Aritmatika

Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut :

U1, U2, U3, ….Un

a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b

Selisih (beda) dinyatakan dengan b

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a + (n-1) b

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama → U1 = a

b = selisih/beda

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …

Baca Juga:  √ Pengertian Statistik, Jenis, Fungsi dan Tujuannya (Lengkap)

(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

Bentuk Barisan Aritmatika

Dalam hal ini perlu diperhatikan beberapa keterangan rumus bentuk barisan aritmatika sebagai berikut:

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ….., (a+(n-1)b)

Rumus:

b = Un – Un-1

Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b

Atau

Un = Sn – Sn-1

Keterangan:

a = U1 = Suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Un= Suku ke-n

Contoh Barisan Aritmatika

Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah…

Penyelesaian:

a = 4

b = 5

Un = a + (n-1) b

U11 = 4 + (11-1)5

= 4 + 50

= 54

Contoh Soal Barisan Aritmatika

Tentukanlah suku ke 16 barisan 2, 6, 10, 14, …

Jawab:

n = 15

b = 6-2 = 10 – 6 = 4

U1 = a = 2

Un = a + (n-1) b

U16 = 2 + (16-1)4

= 2 + 15.4

= 2 + 60 = 62

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

?

Un = a + (n-1)b

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:

Un = a + (n-1)b

Contoh Soal

Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 12 dan beda = 3. Tentukan unsur ke 6 barisan itu.

Penyelesaian:

Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, diperoleh

U2 = a + (3-1)b

U2 = a + b

a = U2 – b

= 12 – 2

= 10

U6 = a + (6-1) b

= a + 5 b

= 10 + 5 (2)

= 10 + 10

= 20.

Jadi unsur ke 6 dari barisan adalah 20.

Contoh Soal

Mulai tahun 2001, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2001 adalah Rp 7.000.000,-. Mulai tahun 2002, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 600.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2006?

Baca Juga:  √ Pengertian Diskon, Bruto, Tara, Netto, Untung, Rugi & Rumusnya

Penyelesaian:

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2001.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.

P 2006 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2006.

Jadi ditentukan rumus,  a = Rp 7.000.000,-, b = Rp 600.000,-, dan P 2006 yang akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap. Maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2006. Kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 7.000.000,-, b = Rp 600.000.

P2006 = U7 = a + 5b

= 7.000.000 + 5(600.000)

= 6.000.000 + 3.000.000

= 9.000.000.

Jadi, perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 9.000.000,-. Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

Contoh Soal

Tentukan jumlah semua bilangan genap antara 50 dan 100.

Penyelesaian:

Diketahui a = 50, b = 2, dan Un = 100.

Untuk mencari jumlah semua bilangan genap di antara 50 dan 100, pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan genap di antara 50 dan 100, yaitu n. Dengan menggunakan rumus:

Un = a + (n – 1) b

100 = 50 + (n – 1)(2)

100 = 50 + 2n – 2

100 = 48 + 2n

2n = 100 – 48

n = 26.

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,

Sn =

1

2

n[2a + (n -1)b]

diperoleh:

S26 =

1

2

(26)[2(50) + (26 -1)(2)]

= 26(50 + 25)

= 26(75)

= 1.950.

Jadi hasilnya jumlah semua bilangan genap antara 50 dan 100 adalah 1.950.

Demikian penjelasan kita kali ini tentang Deret Aritmatika : Barisan, Bentuk, Contoh Soal dan Jawabannya. Semoga dapat bermanfaat dan menambah ilmu pengetahuan untuk kita semua.